TEMARIO RESUELTO DE ULADECH - ÁREA DE MATEMÁTICA

Números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales

Números naturales: Son los signos o conjunto de signos que permiten expresar una cantidad con relación a su unidad. (1;2;3;4;5;6;7;8;9)

Números enteros: Es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. (-1;0;1)

Números racionales: Es una fracción común a/b, a numerador y denominador b distinto de cero.

Números irracionales: Es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse. El valor de Pi es 3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Números reales: Es el conjunto que incluye a todos los números.

Teoría de la divisibilidad: teoremas y criterios de divisibilidad, números primos, propiedades, divisores, MCM, MCD

Teoremas y criterios de divisibilidad:

Teorema de la división: Dividendo a es igual al divisor b multiplicado por el cociente q, más un resto r.

Criterio de divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

Criterio de divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Criterio de divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

Criterio de divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.

Criterio de divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11.

Criterio de divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

Criterio de divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

Criterio de divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

Criterio de divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

Números primos: Es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos (1 y su mismo número).

Propiedades de la divisibilidad:

Reflexiva. Todo número es divisible por sí mismo. a/a.

Transitiva. a/b y b/c implica a/c.

Asimétrica. Si a/b y b/a, entonces a = b o bien a = -b.

Si b/a y |b| >♀|a |, entonces a = 0.

Si b/ a y a diferente de 0, entonces |b| <♀|a |.

Para que b/a es necesario y suficiente que |b| divida♀|a |. 

Divisores: Son aquellos valores que dividen al número en partes exactas. Así, dado un número a, si la división a/b es exacta (el resto es cero), entonces se dice que b es divisor de a.

MCM (Mínimo Común Múltiplo): El MCM de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos.

MCD (Máximo Común Divisor): El MCD de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar resto.

Intervalo. Representación y operaciones

Intervalo: Es un subconjunto I c R

Representación:

Intervalo abierto:]a,b[

Intervalo cerrado: [a,b]

Operaciones:

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A: A={x, x e R: x<4}

Esto se lee: A es el conjunto de todos los números reales x tal que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B: B={x, x e R: 9<x}

B es el conjunto de todos los números reales x, tal que 9 es menor que cualquier x .

El conjunto intersección de A y B no existe, porque A y B no tienen puntos en común.

Tanto por ciento y descuento

El tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad. % equivale al factor 0,01. Ejemplo: 32%= 32*0,01

Descuento:

1.- Dividir el porcentaje de descuento entre 100 para convertirlo en un decimal. Si el descuento que queremos calcular es del 40%, deberás dividir 40/100 = 0,4

2.- Una vez lo tengas, tan sólo deberás multiplicar el descuento convertido en decimal por el precio original, de esta manera conseguirás encontrar el porcentaje de descuento. Si el precio original es de 120€, la operación a realizar será 120 x 0,4 = 48€

3.- Para finalizar con nuestro cálculo del porcentaje, tan solo nos faltará restar al precio original la cantidad de descuento que hemos obtenido. Entonces: 120-48 = 72€

Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas: Es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia.

Progresiones geométricas: Son aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.

Enunciado y proposición. Conectivos lógicos, proposiciones lógicas: simples y compuestas. Tablas de verdad: leyes lógicas. Cuantificadores: existencial y universal. Lenguaje e interferencias lógicas

Enunciado: Es una frase u oración cualquiera.

Proposición: Es una frase u oración con valor verdadero o falso.

Conectivos lógicos: Es un símbolo o palabra que se utiliza para conectar dos fórmulas bien formadas o sentencias, de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta depende del valor de verdad de las fórmulas componentes.

Proposiciones lógicas: simples y compuestas

Proposiciones simples: También denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. El cielo es azul.

Proposiciones compuestas: También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.

Expresiones algebraicas. Valor numérico. Grado de una expresión

Expresiones algebraicas: Es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Valor numérico: El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las variables de la de dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones.

Grado de una expresión: El exponente de mayor orden de la variable se conoce como grado del polinomio. Para encontrar el grado de un polinomio, basta examinar cada término y hallar el exponente de mayor orden de la variable.

Función exponencial: dominio y rango, aplicaciones

Las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = b^x, donde b > 0 y b ≠ 1. Al igual que cualquier expresión exponencial, b se llama base y x se llama exponente. Ejemplo: es el crecimiento de las bacterias. Algunas bacterias se duplican cada hora. Si comienzas con 1 bacteria y se duplica en cada hora, tendrás 2^x bacterias después de x horas. Esto se puede escribir como f(x) = 2^x.

Con la definición f(x) = b^x y las restricciones de b > 0 y b ≠ 1, el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales positivos.

Función logarítmica: dominio, rango y gráfica

Es la función inversa de la exponencial en base a. Sea f (x) = log_ax

El rango de la función logarítmica es el dominio de la función exponencial, que es el conjunto de todos los números reales. El dominio de la función logarítmica es el rango de la función exponencial, dada por el intervalo (0, + infinito).

Aplicaciones:

Si conoces la tasa de crecimiento promedio de una población, y quieres saber cuántos años tardará en llegar a cierta necesitas el logaritmo.

En el campo de la química, permite ahorrarnos el engorro de usar comas en números pequeños y a la vez nos podemos evitar poner numerosos ceros en los números grandes.

Propiedades de logaritmos:

·                    La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).

·                    Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.

·                    En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga1 = 0, en cualquier base.

·                    La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.

·                    Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Ecuaciones e inecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas. 1 polinomios, polinomios especiales

Ecuaciones: Es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Inecuaciones: Es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos: menor que (<), menor o igual que (≤), mayor que (>), mayor o igual que (≥).