MATRICES
1.
Resumen
El
crecimiento empresarial de las compañías o pequeñas empresas de desarrollo
implican crecimientos vendiendo y produciendo productos de mayor elite de venta
en el mercado; buscando ganancias completas de largo periodo productivo. Por
este motivo se realiza el estudio de mercando en donde los productos que se
necesitan son más producidos, ahora hablemos de pequeñas empresas como son
librerías, farmacias entre otras, estas grandes y pequeñas empresas tienen algo
en común, que deben estar inventariadas o clasificadas por precio unitario. Por
lo cual el grupo que hoy presenta este informe dará soluciones rápidas y
factibles para obtener el precio unitario de los 6 productos más vendidos en una librería, esto se
realizará utilizando datos de la librería y colocándolos en el programa OCTAVE
4.00, en donde este programa solucionara el problema y dará como resultado el
precio unitario de los productos más vendidos en dicha librería.
Pero
antes un pequeño resumen del tema de aplicaciones de matrices:
·
¿Por
qué se usan matrices?
Para poder
resolver ecuaciones de primer grado, pero que tengan varias incógnitas.
·
¿Qué
es una matriz?
Una matriz es un arreglo
bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una
de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas
verticales.
·
¿Porque
se usamos matrices para resolver el problema presentado?
Debido a
que hay problemas que presentan más de una incógnita, aparecen las matrices,
para poder ayudar a resolver estos problemas.
En el
problema se presenta un caso en el que podemos ver 6 incógnitas, entonces para
poder llegar a su solución utilizamos matrices.
.
Introducción
Nombre:
Librería “B&D”
Ubicación:
Manuel Arévalo II etapa Mz A10 Lt 9
Dueña: Sra.
Flor
Solo cuenta con una administradora y vendedora, que a la
vez es la dueña de la librería.
La librería atiende desde 6am hasta 10pm.
Se obtiene un mínimo de $30 por día.
3.
Problemática
En la
librería “B&D” quiere obtener el precio unitario de los seis productos más
vendidos, para ello quiere un método más rápido y eficaz para desarrollarlo.
Los productos más vendidos son: cuaderno justus cuadriculado, vinifan mediano,
lapiceros brillantes, perforador mediano, UHU con aplicador y una caja de plumones
de 20u, y la dueña de esta librería quiere hallar el precio unitario de cada
uno.
4. Objetivos
Ø Objetivo General:
Aplicar matrices para resolver el problema de 6 variables.
Ø Objetivo Específico:
-Usar Octave (un programa de computadora) para
resolver las matrices.
-Resolver más rápido con Octave que al hacerlo manualmente.
-Obtener respuestas certeras al usar el
programa.
5.
Fundamento teórico.
· INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES , DETERMINANTES :
Las matrices y los determinantes son
herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su
manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados
básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y
Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton,
Las matrices se utilizan en el cálculo
numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las
ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad
para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de
forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
5.1 CONCEPTO GENERALES:
5.1.1 DEFINICIÓN DE
MATRICES:
Una matriz es una
tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:
Abreviadamente
se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices.
El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y
el segundo, “j”, la columna. Las matrices siempre se representaran con letras
mayúsculas.
5.1.2 DEFINICIÓN DE DETERMINANTES:
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado
el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz
A lo denotaremos por det(A).
5.1.3 DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:
Un
sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la
forma:
En
este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se
denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a
determinar) y bj se denominan términos independientes. En el caso de que las
incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y
en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a
la hora de resolver el sistema.
2. MARCO TEÓRICO:
2.1
SISTEMA DE ECUACIÓN 2x2: consiste en dos ecuaciones lineales en dos variables.
2 x – y =
3 ecuación (1)
x +
3 y =
2 ecuación
(2)
Sistema de orden 2 (ecuaciones
1 y 2 ) y 2 (variables, x y) o para
decirlo en forma corta: 2 x 2
2.2. SISTEMA DE ECUACIÓN 3x3: consiste en tres ecuaciones lineales
de tres variables.
Sistema de orden 3 (ecuaciones 1, 2,3) y 3(variables
x,y, z) o para decirlo en forma corta : 3x3
2.3. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN:
ü MÉTODO DE CRAMMER:
Sirve para resolver sistemas
de ecuaciones lineales.
En donde primero se
determina la determinante, y luego las incógnitas.
Ø
Determinantes:
Denotamos al determinante de
la matriz A de orden n x n, det A.
-
Determinante
de una matriz 2 x 2:
DETERMINANTE DE UNA
MATRIZ 3X3
Procedimiento:
-
Añade al final de la matriz dada, las primeras
dos columnas de la esa matriz.
- Halla el producto de las diagonales positivas
de la matriz, es decir, las que comienzan con la primera fila y la primera
columna hacia la derecha. Una matriz nxn , tiene n diagonales positivas.
-
Se suma el producto de las diagonales
positivas.
- Se halla el producto de las diagonales
negativas de la matriz, es decir, las que comienzan con la primera fila y la
última columna hacia la izquierda. Una matriz nxn , tiene n diagonales
negativas.
- Se suma el producto de las diagonales
negativas.
- El determinante es la diferencia (resta) de la
suma del producto de las diagonales positivas y la suma del producto de las
diagonales negativas.
6. Solución del problema
6.1.
Toma datos.
-Se
tomó en cuenta el costo de los productos de la información brindada por el
dueño de la librería “B&D”; de
tales productos se escogió solo 6 para sacar los costos y ganancias con
impuestos o sin impuestos de los siguientes productos:
-
Cuaderno justus
-
Vinifan
-
Lapiceros brillantes
-
Perforador mediano
-
UHU con aplicador
-
Caja de plumones de 20 unidades
6.2. Tabla de datos
|
Productos
|
Costo
unitario con impuesto
|
Costo
unitario sin impuesto
|
|
Cuaderno Justus cuadriculado
|
20% (a)
|
a
|
|
Vinifan mediano
|
30% (b)
|
b
|
|
Lapiceros brillantes
|
40% (c)
|
c
|
|
Perforador mediano
|
50% (d)
|
d
|
|
UHU con aplicador
|
60% (e)
|
e
|
|
Caja de plumones de 20 unidades
|
70% (f)
|
f
|
|
Total
|
S/.22.4
|
S/.42
|
6.3.
Planteamiento del problema y resolución del problema
En la
librería “B&D” se ofrece la venta de seis diferentes productos: Cuaderno
justus cuadriculado, vinifan mediano, lapiceros brillantes, perforador mediano,
UHU con aplicador y caja de plumones de 20 unidades. La dueña de la librería
hizo la suma de los seis productos que más venía en la librería y le dio un
total de S/. 42.00 (sin imestos) sumando sus precios unitarios de cada uno de
ellos; la suma de precios de un cuaderno justus, un vinifan mediano y un
estuche de lapiceros brillantes es igual a una caja de plumones de 20u, además
dos cuadernos justus más 3 vinifan medianos más cuatro UHU con aplicador es
igual 56; sumando un cuaderno justus más un vinifan y una caja de plumones da
el total de 3 veces el precio de los lapiceros brillantes. Teniendo en cuenta
los impuestos que paga la dueña de la librería, tenemos que la suma del 20% de
cuadernos justus más el 30% de vinifan más el 40% de lapiceros brillantes más el 50% del perforador mediano más el 60%
del UHU con aplicador más el 70% de la caja de plumones de 20u da un total de
S/. 22.40; sumando el costo de un cuaderno justus con el 20% de impuestos más
el 30% de un vinifan más el 40% de un estuche de lapiceros brillantes es igual
al 40% del UHU con aplicador. Calcular el precio de cada útil vendido en la
librería.
Datos:
a=
Cuaderno justus cuadriculado
b=
Vinifan
c=
Lapiceros brillantes
d=
Perforador mediano
e= UHU
con aplicador
f=
Caja de plumones de 20u
Solución:
Sin interés
·
La dueña de la librería hizo la suma de los
seis productos que más venía en la librería y le dio un total de S/. 42.00 (sin
impuestos) sumando sus precios unitarios de cada uno de ellos
·
La suma de precios de un
cuaderno justus, un vinifan mediano y un estuche de lapiceros brillantes es
igual a una caja de plumones de 20u
·
Dos cuadernos justus más 3 vinifan medianos más
cuatro UHU con aplicador es igual 56;
·
Sumando un cuaderno justus más un vinifan y una
caja de plumones da el total de 3 veces el precio de los lapiceros brillantes
Con interés
·
Teniendo en cuenta los impuestos que paga la
dueña de la librería, tenemos que la suma del 20% de cuadernos justus más el
30% de vinifan más el 40% de lapiceros brillantes más el 50% del perforador mediano más el 60%
del UHU con aplicador más el 70% de la caja de plumones de 20u da un total de
S/. 22.40
Sumando el costo de un cuaderno justus con el
20% de impuestos más el 30% de un vinifan más el 40% de un estuche de lapiceros
brillantes es igual al 40% del UHU con aplicador
Desarrollo con ayuda del programa OCTAVE
Respuestas:
El
precio del cuaderno Justus es de 2 soles,
vinifan mediano 4 soles, lapiceros brillantes 6 soles, perforador mediano 8 soles, UHU con aplicador 10 soles y
de la caja de plumones es 12 soles.
7. Resultados:
·
Se logró resolver con satisfacción las
matrices de las ecuaciones planteadas por los problemas, tomando en cuenta la
teoría enseñada y explicada en clases.
·
Los resultados obtenidos fueron los
siguientes.
-El
costo unitario del cuaderno Justus es de S/.2.00
-El
costo unitario del Vinifán mediano es de S/.4.00
-El
costo unitario de los lapiceros brillantes es de S/.6.00
-El
costo unitario del perforador mediano es de S/.8.00
-El
costo unitario del UHU con aplicador es de S/.10.00
-El
costo unitario de la caja de plumones es de S/.12.00
·
Dando así un total de S/.42 sales la suma
de los productos en su costo unitario.
8. Conclusiones:
-El
programa OCTAVE facilita la resolución de matrices, aplicando y delimitando
primero sus ecuaciones lineales.
-Para
resolver ecuaciones lineales en un problema de 6 variables se puede utilizar la
aplicación de matrices.
9. Recomendaciones:
-
Es recomendable utilizar el programa Octave para la solución de matrices de
6x6, de la manera correcta.
-Se
recomienda desarrollar y comprobar las ecuaciones antes de agregar las matrices
en el programa.
10. Bibliografía:
·
MATRICES Y DETERMINANTES (s.f). [en línea].
Recuperado el 23 de noviembre del 2015, de http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T06.pdf
·
DETERMINANTES (s.f) [en línea]. Recuperado el
23 de noviembre del 2015, de http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni2/seccion21.html
·
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (s.f.). [en
línea]. Recuperado el 23 de noviembre del 2015, de http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf
·
SISTEMA DE ECUACINES LINEALES (S.F.) [en
línea]. Recuperado el 23 de noviembre del 2015, de
·
Palacios F. (2008). [en línea] Sistemas de
ecuaciones lineales: regla de Cramer. Recuperado el 23 de noviembre del 2015,
de http://www.epsem.upc.edu/~fpq/ale-hp/modulos/aplicaciones/cramer.pdf
·
Dávila E. (2009). [en línea]. MATRICES. .
Recuperado el 23 de noviembre del 2015, de http://facultad.bayamon.inter.edu/edavila/precalculo%202/matrices%20sistemas%20cramer.pdf
Ejercicios resueltos
por el método de gauss (s.f.). [en línea]. Recuperado el 23 de noviembre del
2015, de http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/g_e.html
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